Fotometria astronomica: sistemi di magnitudine (prima parte)

Tolomeo

Tolomeo

La luminosità apparente di una stella è espressa in termini di magnitudine apparente (magnitudo in latino). La prima classificazione delle stelle in base alla loro luminosità apparente risale ad Ipparco, secondo secolo avanti Cristo e successivamente ripresa da Claudio Tolomeo (150 d.C.).

Ipparco

Ipparco

Si divisero le stelle in sei classi di luminosità ovvero 6 magnitudini; alla prima classe (prima magnitudine) appartenevano le stelle più luminose e alla sesta classe (sesta magnitudine) le stelle appena visibili ad occhio nudo.

Studi fisiologici successivi dell’occhio umano misero in luce che passi di ugual luminosità valutati dall’occhio umano corrispondono ad un rapporto costante fra le energie radiate (energia per unità di tempo per unità di area) così che la risposa dell’occhio umano allo stimolo luminoso è logaritmica in intensità. Così Pogson, nel 1856, propose una formula EMPIRICA che, rispettando la vecchia classificazione di Ipparco, consentisse di esprimere la vasta gamme di luminosità degli oggetti osservati.

La formula proposta da Pogson ha la seguente struttura:

m1-m2=-Klog10(f1/f2)

Grafico Equazione di Pogson

Grafico Equazione di Pogson

Studi del XIX secolo misero in evidenza che una stella di prima magnitudine è 100 volte più luminosa di una di sesta.
Attraverso le opportune sostituzioni:

  • m1-m2=5
  • f1/f2=100

si trova che il fattore di proporzionalità K=2,5; così una stella di prima magnitudine è 2,5 volte più luminosa di una di seconda e 2,52 volte di una terza… e così via. In questo modo Pogson mantenne l’accordo con l’antica scala delle magnitudini di Ipparco.

m1-m2=-2,5log10(f1/f2) Equazione di Pogson

L’equazione di Pogson spiega il perché la magnitudine decresce quando l’intensità luminosa cresce. Infatti si parla di oggetti brillanti quando la loro magnitudine apparente è molto piccola e viceversa.

La magnitudine apparente del Sole, che è l’oggetto più luminoso visibile in cielo, è:

m8 = -26.85

Magnitudine dei corpi

Magnitudine dei corpi

Attribuendo ad un dato oggetto una magnitudine apparentemente uguale a zero è possibile calcolare la differenza di magnitudine con un altro oggetto osservato e risalire al rapporto dei flussi radiati. Oggigiorno con l’avvento dei moderni rivelatori CCD si usa la procedura inversa: dalla misura del flusso radiato sul rivelatore e possibile ricavare con precisione la magnitudine relativa.

Si stabilì che tale oggetto di riferimento dovesse essere la stella Vega a cui è stata attribuita una magnitudine apparente uguale a zero.

Il flusso ricevuto a Terra da una stella lontana dipende da due fattori; dalla sua luminosità intrinseca e dalla distanza a cui si trova l’oggetto.

La luminosità intrinseca di un oggetto, approssimando una stella ad un corpo nero ideale, è data dalla legge di Josef Stefan (1879), 5 anni dopo ripresa da Ludwig Boltzmann che riuscì a ricavare il valore della costante s:

L = A s Te4 (erg sec-1) Equazione di Stefan Boltzmann

Te: Temperatura efficace; è la temperatura che avrebbe un corpo nero che ha le stesse dimensioni e lo stesso flusso di energia emesso dalla stella “reale”.

Flusso magnetico

Flusso magnetico

Il flusso radiato ad una distanza D è dato, come si evince in figura, dalla relazione:

F=L/A (erg sec-1 cm-2)

A è l’area attraversata dal flusso a distanza D cioè:

A=4 p D2 (cm2) (area della sfera)

Il flusso f ricevuto a distanza d dalla stella, per esempio sulla Terra, è dato dalla legge dell’inverso del quadrato:

f=(D/d)2*F

Ovviamente più lontano è l’oggetto e più debole esso apparirà. Quindi per ottenere informazioni sulla sua luminosità intrinseca bisognerà ricavare la sua distanza.

Quindi una stella apparentemente più debole potrebbe esserlo solo perché più lontana e non perché intrinsecamente meno luminosa. Per questo motivo diventa necessario introdurre una scala di magnitudini assoluta.

La magnitudine assoluta è la magnitudine apparente che l’oggetto avrebbe se fosse osservato ad una distanza standard D di 10pc (1 parsec=3,26 Ly); così considerando le due equazioni:

m1-m2=-2,5log10(f1/f2)

f=(D/d)2*F

è possibile, con le opportune sostituzioni, ricavare come apparirebbe luminosa una stella posta alla distanza standard di 10pc.

  • m2=M
  • f2=F

si trova:

m-M=-2.5  log10(f/F) (trascurando il pedice 1)

Ma dalla legge dell’inverso del quadrato si ricava che

f/F=(D/d)2

sostituendo e applicando le proprietà dei logaritmi

m-M=5log10d-5

dove m-M è chiamato modulo di distanza di un oggetto.

Conoscendo m e d è possibile ricavare immediatamente M e viceversa.

La magnitudine assoluta consente di confrontare le luminosità intrinseche delle stelle.

Qual è la magnitudine assoluta del Sole?

m8 = -26.85

d8 = 1 UA = (1/206265)pc = 4.849  10-6 pc sostituendo

M8 = m8+ 5 – 5  Log(d8)

M8= +4.72

La magnitudine assoluta è normalmente valutata nella banda visuale ed è denotata con Mv, quindi è importante notare che questa magnitudine non è una misura diretta dell’energia totale in uscita da un oggetto ma solo quella relativa ad una preciso range di lunghezze d’onda, proprio quello relativo alla finestra visuale dello spettro elettromagnetico (da 400nm a 700nm circa).

Per la misura dell’energia totale in uscita si utilizza la cosiddetta magnitudine bolometrica Mbol.

La relazione m-M=5log10d-5 è da considerarsi con cautela. Di seguito si indicheranno i fattori di correzione che saranno da valutarsi.

Prima di tutto si dovrà considerare l’assorbimento e la diffusione dello spazio interstellare con un incremento della magnitudine apparente. In pratica la luce di una stella lontana risente del percorso effettuato e a terra verrà rilevata solo la quota parte di flusso risultante.

Se ci sono A magnitudini dovute all’estinzione interstellare la relazione corretta sarà:

m-M=5log10d-5+A

Esiste una ulteriore complicazione; questo valore dipende fortemente dalla lunghezza d’onda; in particolare A diminuisce per elevate lunghezze d’onda (si veda arrossamento del mezzo interstellare).

In più c’è da considerarsi il movimento di un eventuale oggetto significativamente lontano (in termini cosmologici). Il valore osservato nella banda V potrebbe non essere connesso con il valore che si misurerebbe se l’oggetto fosse fermo a 10 pc.

Se lo spettro dell’oggetto osservato è conosciuto è possibile ricavare la relazione che lega il valore osservato di Mv con il valore vero che avrebbe Mv se l’oggetto fosse fermo a 10pc. Quindi l’ultima relazione vista va ulteriormente corretta da un fattore K detto di correzione K.

m-M=5log10d-5+A+K

In pratica si confronteranno le luminosità delle galassie distanti (alto redshift) con le galassie vicine (basso redshift) nella banda nella quale è stata raccolta la luce dalle galassia lontana; esistono delle tabelle che in funzione del redshift osservato e della banda di interesse, danno il valore della banda risultante come se l’oggetto fosse fermo e posto a 10pc.

Lorenzo Oliviero

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